Максимальное превышение давления находится в районе краев
воронки истечения, уровень этих давлений относительно днища мож-
но оценить в случае центральной выгрузки по формуле
o 68o
2
22
2 2 2
h D d ctgΘ ≈ D ctgΘ = D2 ctg = Dtg
−
= , (1.8)
где D – диаметр силоса,
d – диаметр выпускного отверстия.
Для сравнительного анализа уровня максимального превышения
давлений рассмотрим таблицу 1.3, составленную для силосов с раз-
личным отношением Н/D.
Таблица 1.3
H/D 1,5 2 3 5
h/H 0,83 0,62 0,41 0,25
Как видно из таблицы, при Н/D=5 максимальное превышение ди-
намических давлений над статическими следует ожидать на уровне,
равном четверти высоты силоса, а при H/D =2 этот уровень может
достигнуть значения, равного 2/3H.
Изучение наиболее общих закономерностей в расположении зон
повышенных давлений при выгрузке сыпучего материала требует
анализа следующих определяющих факторов:
1. физико-механических характеристик сыпучего материала;
2. шероховатости стен емкости;
3. отношения горизонтального давления к вертикальному;
4. скорости выгрузки;
5. эксцентричности расположения выпускных отверстий.
31
В существующих методиках определения давления учтены две
физико-механические характеристики сыпучего материала: объемная
плотность и коэффициент внутреннего трения, от которого зависит
непосредственно входящий в формулу (1.9) коэффициент К.
Для эпюры горизонтального давления имеет важное значение
угол трения по поверхности стен, т.к. от него зависит максимальное
значение давления. Значения угла внешнего трения колеблются в ши-
роких пределах в зависимости от того, находится ли сыпучий матери-
ал в покое или движении. Если материал находится в движении, то
угол трения будет значительно меньше. Этим можно объяснить явле-
ние возрастания давления при выгрузке в первой зоне истечения. В
данном случае угол внешнего трения меньше зависит от чистоты по-
верхности стен силоса, чем от коэффициента внутреннего трения.
При выгрузке сыпучего материала угол внешнего трения состав-
ляет около 80% от его значения во время заполнения силоса.
Отношение горизонтального давления к вертикальному σr/σz=К –
параметр, изменение которого при выгрузке влечет перераспределе-
ние напряжений внутри сыпучего материала таким образом, что дав-
ления на стены силоса возрастают. Отношение горизонтального на-
пряжения к вертикальному выражается формулой
ϕ ω
ϕ ω
σ
σ
1 sin cos2
1 sin cos2
+
−
= =
z
К r . (1.9)
Угол ω=0 на оси силоса, (у стенки)
′ −
′
= ϕ
ϕ
ϕ
ω
sin
arcsin sin
2
1 .
Для наиболее вероятного интервала изменения угла ω(0<ω<17º)
и нормативного значения φ=25º теоретическая величина К принимает
значения, заключенные между 0,41 и 0,48.
Рассмотрим цилиндрический силос, у которого центр выпускного
отверстия смещен на расстояние а от оси (рис.1.17). Границы между
зонами активного и пассивного поля напряжений на диаметрально
противоположных образующих будут находиться на уровнях:
2 .
( ) ;
( ) ;
2
1
Δ = Θ
= + − Θ
= − − Θ
h actg
h R a r ctg
h R a r ctg
(1.10)
Эпюры давлений при выгрузке, приводимые на рис. 1.17 показы-
вают, что максимальное давление приходится на стену, расположен-
32
ную ближе к выпускному отверстию. Противоположная стена испыты-
вает нагрузки, мало отличающиеся от нагрузок на стены симметрич-
ных силосов. Следовательно, эксцентричность расположения выпуск-
ного отверстия приводит к неравномерному расположению горизон-
тальных давлений по периметру силоса.
d
R
Н
h2
2
D О Р
Z
Δh
h1
20º а
1
1
2
2
2
1
Р О
Рис.1.17. Эпюра распределения давления в полости бункера
Из формулы 1.10 следует, что ширина пояса Δh цилиндрической
оболочки силоса (см. рис.1.17), в которой имеет место неравномерное
распределение горизонтальных давлений по периметру, прямо про-
порциональна отклонению d центра выпускного отверстия от оси си-
лоса. Важно отметить, что значение Δh не зависит от диаметра сило-
са.
Таким образом, выделим следующие характеристики зависимо-
сти распределения горизонтальных давлений от величины диаметра
силоса при выгрузке сыпучего материала:
1. В силосах большего диаметра зона повышения давлений
расположена на меньшей глубине засыпки. Поэтому распределение
давлений на стены при центральной выгрузке близко по характеру к
распределению статических давлений.
33
2. В случае эксцентричной вы-
грузки образуется поле неравномер-
ного распределения по периметру
давления, однако его ширина не зави-
сит от диаметра силоса.
Для выявления динамики рас-
пределения напряжений в бункере
рассмотрим условия равновесия эле-
ментарного объёма груза, например, в
цилиндрической части бункера. Из
рис.1.18 видно, что на него действу-
ют: сила тяжести mg, давление выше-
лежащих слоёв р, реакция нижележа-
щих слоёв p+dp и реакция ограждаю-
щей поверхности pξбf.
Выделенный объём находится в равновесии, следовательно,
суммарная сила, приложенная к нему, равна 0:
pA+mg − ( p + dp)A− P fLdz = 0 б ξ , (1.11)
где A – площадь выделенного элемента; ξб – коэффициент бокового
давления; f – коэффициент внешнего трения; L – длина окружности
выделенного элемента; dz - высота выделенного элемента.
Представив массу выделенного элемента через плотность мате-
риала ρ, получим
= −
ρ
ξ
ρ R g
p f
g
dp
Г
1 б , (1.12)
где Rг- гидравлический радиус выделенного сечения;
a.
R g
f
Г
б =
ρ
ξ
(1.13)
Запишем уравнение (1.12) с учетом (1.13) в новом виде:
.
1
gdz
pa
dp = ρ
− (1.14)
После интегрирования (1.14) получим:
pa = 1 − e − aρ gz + c . (1.15)
Для нахождения с рассмотрим частный случай при z=0 и p=p0:
Рис.1.18. К расчёту статических
давлений в цилиндрической час-
ти бункера
p f б
ξ
p
p + dp
mg
h
z
dz
z
34
c = ln(1− p0a) . (1.16)
Тогда
.
1
1
0
e a gz
p a
pa = − ρ
−
−
(1.17)
Предположим отсутствие действия сил на поверхность груза.
Тогда рабочее давление на выделенный слой груза составит
1 (1 e a gz )
a
p = − − ρ (1.18)
или с учетом (1.13)
(1 RГ ).
б fz
б
Г e
f
p gR
ξ
ξ
ρ
−
= − (1.19)
Из полученного выражения закономерно вытекает вывод о том,
что давление внутри столба насыпного груза меняется по высоте бун-
кера по логарифмической кривой.
Рассмотрим выпускную воронку как
систему малых по высоте колец. Причём
с уменьшением сечения воронки радиус
окружности колец будет также умень-
шаться (рис.1.19).
Выделим в каждом кольце некото-
рый элементарный объём материала.
На этот объём будут действовать те же
силы, что и на объём, рассмотренный на
рис.1.18. Поэтому для определения дав-
ления на этот участок груза воспользу-
емся ранее выведенным уравнением
(1.17) и с учетом преобразования полу-
чим
( )
,
1 1 0a
P a e
P
− − −aρgy
= (1.20)
где Р – давление на выделенный
объём материала, Па;
Р0 – давление на выделенный
объём груза, расположенный у верхней
hp
H
h0
h3 h2 h1
А
Рис.1.19. К расчёту
статических давлений в
выпускной воронке
R
В
В' С'
В'' С''
С
35
границы кольца, Па;
а – введённый коэффициент;
g – ускорение свободного падения, м/с²;
у – расстояние от верхней границы кольца до выделенного
объёма материала, м.
С учётом преобразований получим
.
1 1 0
f
P e gR
gR
f
P
Г
R
z f
Г
Г
ξ
ρ
ρ
ξ ξ
+ −
=
−
(1.21)
Проанализировав уравнение
применительно к рис.1.20, можно сде-
лать вывод о том, что давление на
груз, ограниченный каждым кольцом,
зависит от величины давления выше-
лежащего слоя и гидравлического ра-
диуса выделенного объёма.
Разложим по ряду Тейлора сле-
дующий член уравнения (1.21):
1 .
Г
R
z f
R
e Г z f ξ ξ
≈ −
−
(1.22)
Тогда уравнение (1.21) для первого кольца примет вид
1 1 .
1
1 0 h g
R
P P h f
Г
ρ
ξ
+
= − (1.23)
Гидравлический радиус для этого кольца будет равен
( )
,
2
/ 2
0
0 1 R
h
h h
RГ
−
= (1.24)
а для i-го кольца
( ( ))
.
2
1/ 2
0
0 1 R
h
h h i
RГ
− −
= (1.25)
С учётом (1.25) уравнение давления на первом участке примет
вид:
h1
dy y
Р0
Р
Рис.1.20. Элементарный
объем материала в
выпускной воронке
36
( ) h g
h h R
h fh
P P ρ
ξ
1
0 1
1 0
1 0 / 2
2
1 +
−
= − , а общий вид уравнения давления
запишется как
,
2
1
2
1
0
1 0
1 n
h g
i
n
h
nR h
h fh
P P p
p
p
i i
ξ ρ
+
− −
= − − (1.26)
где n – количество колец, со-
ставляющих выпускную
воронку;
i – порядковый номер
кольца.
Математическое описа-
ние динамики изменения дав-
лений в столбе груза, находя-
щегося как в цилиндрической
части бункера, так и в выгруз-
ной воронке позволяет объяс-
нить суть процесса формиро-
вания сводов(рис.1.21). при
классических формах истече-
ния сыпучего груза Расчеты по
представленным формулам
позволяют прогнозировать со-
стояние насыпи содержимого
бункера путем определения
вертикального давления по его
высоте и в выпускной воронке.
